モンティ・ホール問題という確率に関する問題をご存じだろうか。私は最近まで知らなかったぞ! これって、そもそも問題になるような話じゃないんですよね。言葉の使い方に問題があるようにしか思えません。この問題の名前や出来た経緯などは他のサイトにお任せします。カモン、Evil Google
では、この問題を簡素化して説明しましょう。これはあるゲームにおける思考に関するものです。ゲームのルールは以下の通り。
- 逆さに置かれた紙コップが3つあり、その中のランダムに選ばれた1つにだけにコインが入っている
- プレイヤーはコインの入ったコップを当てれば勝ち
- プレイヤーが1つコップを選ぶと、ホストはそのコップ以外の空のコップ1つをランダムに選んで、それが空であることをプレイヤーに見せる
- プレイヤーが残った2つのコップから1つだけをもう一度選択するとゲーム終了
3つのコップそれぞれにA, B, Cと名前を付けましょう。プレイヤーがまずAを選び、ホストがCの中が空であることを見せた場合、プレイヤーはA, Bのどちらを選ぶべきか。
正解はBです。始めに選んだ物ではない方を選ぶという方法を使ってゲームを繰り返した時の勝率は2/3で、始めに選んだ方を再び選ぶ場合の勝率は1/3です。これ、Bが正解である確率が2/3だと説明されることがありますが、それは大間違いです。更にはその理由として、Cが正解である確率1/3がBに移ったからというトンデモ理論まで見受けられます。自分がバカであることをアピールしているようなものですね。
このゲームの大前提として、コインのあるコップはランダムに決定されるので、何時如何なるときもBが正解である確率は1/3なのです。Cが空だと分かっていても、正解がCである確率も1/3です。今回は残り2/3の方に転んだというだけです。今回はCが正解である可能性がなくなったのです。この可能性を主観確率と言います。主観という語と確率という語を合成するセンスの無さと愚かさに腹が立ちますが、仕方ありません。これを確率と呼ぶからおかしなことになるのです。だから私は可能性と称することにします。尚、主観確率(Subjective Probability)に対して、私が確率と呼んでいるものを客観確率(Objective Probability)と呼びます。
なぜBを選ぶといいのか。プレイヤーが得た情報は「Cが正解である可能性がなくなった」ということです。残る可能性はAかBということになるわけですが、それは1/2ずつになる筈だと感じるでしょう。でもそうはなりません。説明のために確率分布を図示しましょう。横軸は各コップが正解である確率を、縦軸はプレイヤーが各コップを選ぶ確率を示します。更に、ホストが各コップを空であることを示す確率で分けます。
| 正解のコップ |
A(1/3) | B(1/3) | C(1/3) |
選 択 す る コ ッ プ | A(1/3) | B(1/2) C(1/2) | C(1) | B(1) |
B(1/3) | C(1) | A(1/2) C(1/2) | A(1) |
C(1/3) | B(1) | A(1) | A(1/2) B(1/2) |
こんな感じですね。今回はAを選んだので、下二段の可能性は消滅します。
また、ホストがAやBを見せる可能性も消滅するので、以下のようになります。
| 正解のコップ |
A(1/3) | B(1/3) | C(1/3) |
選 択 す る コ ッ プ | A(1/3) | C(1/2) | C(1) |
|
B(1/3) |
|
|
|
C(1/3) |
|
|
|
はい、ここでAが正解の場合の確率を計算してみましょう。
正解がA(1/3)×選択がA(1/3)×空なのがC(1/2)=1/18です。
では、Bが正解である場合の確率は?
正解がB(1/3)×選択がA(1/3)×空なのがC(1)=1/9です。
あくまで、各々の場合の確率が1/18と1/9です。AやBが正解である確率はどちらも1/3で不変ですよ。可能性があるのは上記の2通りなので、可能性はそれぞれ1/3と2/3になります。AとBを逆に見立てて、プレイヤーがBを選びホストがCを空だと示した場合は、Aを選んだ方が勝つ可能性が2倍になるんですよ。いやあ、驚きですねえ。ランダムに決められたコップを選ぶのに、自分の過去の行動で勝つ可能性が変化するんです。これは自分の行動で相手の行動に制限が生じるのが原因なんです。変わるのは確率じゃなくて可能性。ただ、この可能性の計算には客観確率を使いますし、算法も客観確率と同じです。つまり、主観確率を客観確率と混同してしまっても計算は合うということです。でも、その計算の意味を勘違いしてしまうことになります。意味を間違うとその先の成長や発展が阻害されますから、意味も大事にしてもらいたいものですね。
|